Kumpulan Rumus Matematika SD SMP SMA Disertai Contoh
Memiliki kumpulan rumus matematika yang lengkap mulai dari SD, SMP hingga SMA merupakan impian setiap siswa. Apalagi bila diulas secara detail dan diperoleh melalui media online. Tinggal cari di google, ketik kata kunci "rumus matematika" dan langsung tampil hasilnya. Mengingat karena matematika sebagai pelajaran tersulit, jadi bila mengerjakan soal yang pakai rumus tidak perlu bolak balik lagi cari dibuku.
Lalu, kira-kira mengapa ya matematika dianggap sebagai pelajaran tersulit??
Umumnya siswa mengatakan karena materinya selalu membahas soal, pengerjaannya pun mesti pakai rumus. Belum lagi rumus matematika jumlahnya banyak, jadi bingung harus pakai yang mana.
Makanya tidak heran bila kebanyakan siswa senang menunda dan malas untuk menyelesaikan soal tugas ataupun PR yang diberikan oleh bapak ibu guru disekolah.
Disamping itu, siswa kadang kurang termotivasi untuk belajar matematika. Malah sebagian siswa menghindar dan mencari berbagai alasan untuk tidak masuk bila les pelajaran matematika. Apalagi bila ada tugas namun ternyata belum dikerjakan.
Padahal kita tahu bersama, untuk menamatkan sekolah dijenjang SD, SMP hingga SMA wajib mengikuti Ujian Nasional. Salah satu mata pelajaran yang diujikan adalah matematika. Masih mau menghindar dan tidak mau belajar matematika??
Belajar matematika ternyata ada banyak manfaatnya lho. Bahkan penerapan materinya pun sangat erat hubungannya dalam kehidupan sehari-hari. Contoh dekatnya, saat orang tua menyuruh belanja. Nah, bila sudah menguasai materi matematika maka untuk menghitung total belanjaan jadi mudah. Sehingga sobat tahu berapa jumlah uang yang mesti dibayar serta uang kembaliannya.
Makanya mulai sekarang teman-teman harus semangat belajar matematika. Rajin-rajinlah mengerjakan soal tugas atau PR.
Bagaimana caranya biar bisa menyelesaikan soal-soal matematika?
Tenang saja teman-teman, tulisan kali ini akan mengulas rumus matematika SD, SMP hingga SMA yang bisa memudahkan teman-teman dalam mengerjakan soal matematika. Jadi, teman-teman bisa menentukan sendiri rumus yang digunakan dalam membahas soal tugas ataupun PR, tinggal cari dan klik judul materinya pada daftar isi berikut dan silahkan lihat rumusnya.
Berikut inti sari matematika yang sudah saya rangkum menjadi kumpulan rumus matematika lengkap mulai dari SD kelas 4, 5, 6, SMP kelas 7, 8, 9, sampai SMA kelas 10, 11, 12 yang wajib sobat ketahui agar mudah dalam menyelesaikan soal-soal matematika dari kategori mudah, sedang hingga yang tersulit.
Bilangan
Jenis-jenis bilangan
- Bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh dirinya sendiri dan bilangan satu. Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, ...
- Bilangan asli, yaitu bilangan bulat yang dimulai dari satu. Contoh: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
- Bilangan cacah, yaitu bilangan bulat yang dimulai dari nol. Contoh: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
- Bilangan ganjil, yaitu bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2. Contoh: 1, 3, 5, 7, 9, ...
- Bilangan genap, yaitu bilangan bulat yang habis dibagi 2. Contoh: 2, 4, 6, 8, ...
- Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Contoh: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
- Bilangan rasional, yaitu sembarang bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$. Syaratnya, a dan b anggota bilangan bulat, sedangkan b $\neq$ 0
- Bilangan real terdiri atas bilangan bulat dan bilangan pecahan. Contoh: $\frac{1}{2}$; 1, $1\frac{1}{1}$; 2; ...
Pengerjaan Hitung Bilangan
1. Penjumlahan
Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan setiap angka sesuai nilai tempatnya. Artinya, satuan dijumlahkan dengan satuan, puluhan dengan puluhan, ratusan dengan ratusan, dan seterusnya.
Berikut hasil penjumlahan berdasarkan tanda bilangan:
| Tanda Bilangan 1 | Tanda Bilangan 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | - | +, - |
| - | + | -, + |
| - | - | - |
2. Pengurangan
Pengurangan dilakukan dengan mengurangkan setiap angka sesuai nilai tempatnya. Kurangkan satuan dengan satuan, puluhan dengan puluhan, ratusan dengan ratusan, dan seterusnya.
Defenisi: mengurangi suatu bilangan sama artinya dengan menjumlah dengan lawan bilangan pengurangnya. Bentuk umum: a - b = a + (-b)
Berikut hasil pengurangan berdasarkan tanda bilangan:
| Tanda Bilangan 1 | Tanda Bilangan 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | +, - |
| + | - | + |
| - | + | - |
| - | - | -, + |
3. Perkalian
Definisi:
1. hasil perkalian dua bilangan berbeda tanda adalah bilangan negatif.
2. hasil perkalian dua bilangan dengan tanda yang sama adalah bilangan positif.
Berikut hasil perkalian berdasarkan tanda bilangan:
| Tanda Bilangan 1 | Tanda Bilangan 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
| - | - | + |
4. Pembagian
Definisi:
1. pembagian dua bilangan bulat bertanda sama hasilnya adalah bilangan bulat positif.
2. pembagian dua bilangan bulat dengan tanda berbeda hasilnya adalah bilangan bulat negatif.
Berikut hasil pembagian berdasarkan tanda bilangan:
| Tanda Bilangan 1 | Tanda Bilangan 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
| - | - | + |
Sifat-sifat Pengerjaan Hitung Bilangan
a. Sifat komutatif (pertukaran)
- Komutatif pada penjumlahan
Bentuk umum: a + b = b + a - Komutatif pada perkalian
Bentuk umum: a x b = b x a
b. Sifat asosiatif (pengelompokkan)
- Asosiatif pada penjumlahan
Bentuk umum: (a + b) + c = a + (b + c) - Asosiatif pada perkalian
Bentuk umum: (a x b) x c = a x (b x c)
c. Sifat distributif (penyebaran)
- Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Bentuk umum: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) - Distributif perkalian terhadap pengurangan
Bentuk umum: a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
Aturan Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat
Aturan pengerjaan operasi hitung campuran pada hitungan cacah juga berlaku pada operasi hitung campuran bilangan bulat.
Berikut aturan operasi hitung campuran bilangan bulat:
- operasi dalam tanda kurung dikerjakan lebih dulu
- perkalian dan pembagian adalah setingkat, maka pengerjaan dilakukan secara urut dari kiri
- penjumlahan dan pengurangan adalah setingkat, maka pengerjaan dilakukan secara urut dari kiri
- perkalian dan pembagian lebih tinggi tingkatannya dari penjumlahan dan pengurangan, maka perkalian atau pengurangan dikerjakan lebih dulu
Aturan Pembulatan Bilangan
Aturan pembulatan bilangan ke satuan, puluhan, ratusan, dan ribuan terdekat adalah sebagai berikut:
a. Pembulatan ke satuan terdekat
- jika angka persepuluhan kurang dari 5 maka dihilangkan
- jika angka persepuluhan lebih dari atau sama dengan 5 maka dibulatkan menjadi 1 satuan
b. Pembulatan ke puluhan terdekat
- jika angka satuan kurang dari 5 maka dihilangkan
- jika angka satuan lebih dari atau sama dengan 5 maka dibulatkan menjadi 1 puluhan
c. Pembulatan ke ratusan terdekat
- jika angka puluhan kurang dari 5 maka dihilangkan
- jika angka puluhan lebih dari atau sama dengan 5 maka dibulatkan menjadi 1 ratusan
d. Pembulatan ke ribuan terdekat
- jika angka ratusan kurang dari 5 maka dihilangkan
- jika angka ratusan lebih dari atau sama dengan 5 maka dibulatkan menjadi 1 ribuan
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan yang membagi habis bilangan tersebut
Faktorisasi prima suatu bilangan adalah perkalian semua faktor prima bilangan itu
Faktor persekutuan adalah faktor-faktor dari dua bilangan atau lebih yang nilainya sama
Faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan terbesar yang habis membagi kedua bilangan tersebut. FPB dari dua atau tiga bilangan diperoleh dari perkalian faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali suatu bilangan dengan bilangan asli
Kelipatan persekutuan adalah semua kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan terkecil yang habis dibagi bilangan-bilangan tersebut. KPK dari dua atau tiga bilangan diperoleh dari perkalian semua faktor prima, jika ada faktor yang bersekutu pilih faktor yang pangkatnya terbesar
Pecahan
Pecahan dilambangkan dengan $\frac{a}{b}$. Lambang a menyatakan pembilang dan b menyatakan penyebut, dengan b $\neq $ 0.
Bentuk-bentuk pecahan sebagai berikut:
- Pecahan biasa
Pecahan biasa dilambangkan $\frac{a}{b}$. Pecahan biasa terbagi dua yaitu:- Pecahan sejati yaitu pecahan yang nilai pembilangnya kurang dari nilai penyebutnya (a < b). Contoh: $\frac{1}{2},\ \frac{3}{4},\ \frac{6}{15},$ dll.
- Pecahan tidak sejati yaitu pecahan yang nilai pembilangnya lebih dari atau sama dengan nilai penyebutnya (a $\geqslant $ b). Contoh: $\frac{4}{4},\ \frac{8}{5},\ \frac{12}{4},$ dll.
- Pecahan campuran, dilambangkan dengan $m\frac{a}{b}$, dengan a < b, b $\neq $ 0, dan m bilangan bulat. Contoh: $2\frac{1}{4},\ 8\frac{5}{6},$ dll.
Pecahan campuran dapat diubah menjadi pecahan tidak sejati dengan cara mengalikan bilangan bulat pada pecahan dengan penyebut kemudian ditambahkan dengan pembilang, sedangkan penyebutnya tetap.
Contoh: $2\frac{3}{4}\ =\ \frac{2\ \times \ 4\ +\ 3}{4}\ =\ \frac{11}{4}$ - Pecahan desimal, yaitu pecahan yang ditulis dengan menggunakan tanda koma. Koma berfungsi sebagai pemisah antara bilangan bulat dan bagian desimal. Contoh: 2,3; 6,87; 45,09; dll.
- Persen, yaitu pecahan berpenyebut 100, ditulis dengan tanda %.
Pangkat
Notasi bilangan berpangkat
Notasi bilangan berpangkat yaitu $a^{n}$ dengan a bilangan real dan n bilangan bulat. $a^{n}$ dibaca a pangkat n. Khusus n = 2, $a^{2}$ dibaca a kuadrat.
Notasi a disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.
Bilangan berpangkat dua (bilangan kuadrat)
Bilangan kuadrat yaitu bilangan hasil perkalian dari dua bilangan yang sama. Bilangan kuadrat dinotasikan dengan $a^{2}\ =\ a\ \times \ a$.
Bilangan berpangkat tiga (bilangan kubik)
Bilangan kubik yaitu bilangan hasil perkalian berulang sebanyak tiga kali dari bilangan yang sama. Bilangan kubik dinotasikan dengan $a^{3}\ =\ a\ \times \ a\ \times \ a$.
Sifat-sifat bilangan berpangkat
Berikut sifat-sifat yang digunakan dalam menyelesaikan soal bilangan berpangkat:
a. $a^{m}\ \times \ a^{n}\ =\ a^{n}\ \times \ a^{m}\ =\ a^{m+n}$
Contoh: $4^{2}\ \times \ 4^{3}\ =\ 4^{3}\ \times \ 4^{2}\ =\ 4^{2+3}\ =\ 4^{5}$
b. $\frac{a^{m}}{a^{n}}\ =\ a^{m}\ :\ a^{n}\ =\ a^{m-n}$
Contoh: $\frac{3^{6}}{3^{2}}\ =\ 3^{6-2}\ =\ 3^{4}$
c. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\ =\ \frac{a^{m}}{b^{m}}$ dengan b $\neq $ 0
Contoh: $\left ( \frac{5}{7} \right )^{3}\ =\ \frac{5^{3}}{7^{3}}$
d. $\left ( a\ \times \ b \right )^{m}\ =\ a^{m}\ \times \ b^{m}$
e. $\left ( a^{m} \right )^{n}\ =\ \left ( a^{n} \right )^{m}\ =\ a^{m\times n}$
f. $ka^{m}\ \times \ lb^{n}\ =\ \left ( k\ \times \ l \right )\ \times \ \left ( a^{m}\ \times \ a^{n} \right )$ dengan k dan l bilangan real
Contoh: $2\left (4 \right )^{2}\ \times \ 3\left (5 \right )^{3}\ =\ \left ( 2\ \times \ 3 \right )\ \times \ \left ( 4^{2}\ \times \ 5^{3} \right )$
g. $\frac{ka^{m}}{lb^{n}}\ =\ \frac{k}{l}\ \times \ \frac{a^{m}}{b^{n}}$ dengan b $\neq $ 0 dan l $\neq $ 0
h. $a^{0}\ =\ 1$
i. $\left (\frac{1}{a} \right )^{n}\ =\ \frac{1}{a^{n}}\ =\ a^{-n}$
Pangkat bentuk aljabar
a. $\left ( a\ +\ b \right )^{2}\ =\ a^{2}\ +\ 2ab\ +\ b^{2}$
b. $\left ( a\ -\ b \right )^{2}\ =\ a^{2}\ -\ 2ab\ +\ b^{2}$
c. $\left ( a\ +\ b \right )^{3}\ =\ a^{3}\ +\ 3a^{2}b\ +\ 3ab^{2}\ +\ b^{3}$
d. $\left ( a\ -\ b \right )^{3}\ =\ a^{3}\ -\ 3a^{2}b\ +\ 3ab^{2}\ -\ b^{3}$
Akar
Akar adalah kebalikan dari pangkat. Notasi: $\sqrt[n]{\ \ \ }$ dengan n bilangan bulat.
$\sqrt[n]{a\ }$ dibaca akar pangkat n dari a, dengan a disebut radikan dan n disebut pangkat dari akar. Khusus untuk n = 2, $\sqrt[2]{\ \ \ }$ ditulis $\sqrt{\ \ \ }$ dan dibaca akar kuadrat.
Logaritma
Misalkan berlaku $a^{c}\ =\ b$. Diperoleh logaritma dengan notasi: $_{}^{a}\textrm{log}\ b=c$
Keterangan:
$a$ = bilangan pokok atau baris (a>0 dan a$\neq $1)
$b$ = numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya (b>0)
$c$ = hasil logaritma
Jika $a$ = 10, $_{}^{a}\textrm{log}\ b$ ditulis $\textrm{log}\ b$ saja.
Sifat-sifat logaritma
Berikut sifat-sifat yang digunakan dalam menyelesaikan soal logaritma:
a. $_{}^{a}\textrm{log}\ \left ( fg \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ f\ +\ _{}^{a}\textrm{log}\ g $
b. $_{}^{a}\textrm{log}\ \left ( \frac{f}{g} \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ f\ -\ _{}^{a}\textrm{log}\ g$
c. $_{}^{a}\textrm{log}\ b\ =\ \frac{1}{_{}^{b}\textrm{log}\ a}$
d. $_{}^{a}\textrm{log}\ b=\frac{_{}^{c}\textrm{log}\ a}{_{}^{c}\textrm{log}\ b}$
e. $_{}^{a}\textrm{log}\ b^{n} = n\ \times \ _{}^{a}\textrm{log}\ b$
f. $a\ _{}^{a}\textrm{log}\ b^{n}\ =\ \frac{n}{m}\ \times \ _{}^{a}\textrm{log}\ b$
g. $a^{_{}^{a}\textrm{log}\ b} =\ b$
Barisan dan Deret
Pola bilangan
Pola bilangan adalah bilangan-bilangan yang disusun membentuk aturan tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring). Contoh: pola bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, 9, ...; pola bilangan genap 2, 4, 6, 8, ...; pola bilangan segitiga 1, 3, 6, 10, ...; dll.
Barisan dan Deret
Barisan bilangan adalah susunan atau urutan bilangan yang dibentuk menurut pola atau aturan tertentu. Bilangan pada suatu barisan disebut suku. Penulisan barisan: $U_{1},\ U_{2},\ U_{3},\ ...,\ U_{n}$. $U_{1}$ = suku ke-1, $U_{2}$ = suku ke-2, ..., $U_{n}$ = suku ke-n.
Deret adalah penjumlahan berurut dari suku-suku barisan bilangan. Penulisan deret: $U_{1}\ +\ U_{2}\ +\ U_{3}\ +\ ...\ +\ U_{n}$
Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan yang mempunyai selisih antardua suku berurutannya sama. Selisih antara dua suku yang berurutan disebut beda, dirumuskan dengan $b\ =\ U_{n}\ -\ U_{n-1}$.
Suku pertama suatu barisan dinotasikan a. Bentuk umum barisan aritmetika: a, a + b, a + 2b, a + 3b, ...
Contoh: barisan bilangan genap 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
Suku pertamanya a = 2, beda = 2.
Suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan dengan $U_{n}\ =\ a\ +\ b\left ( n\ -\ 1 \right )$
Suku tengah barisan aritmetika jika n ganjil dirumuskan $U_{t}\ =\ \frac{1}{2}\left ( U_{1}\ +\ U_{n} \right )$, $U_{t}$ = suku tengah dan $U_{n}$ = suku terakhir barisan aritmetika.
Di antara dua bilangan real yang berbeda x dan y dapat disisipkan k buah bilangan, sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmetika. Misalkan beda antara dua suku yang berurutan dari barisan aritmetika yang terbentuk adalah b, barisan aritmetika tersebut adalah:
x, (x + b), (x + 2b), (x + 3b), ..., (x + kb), y
Beda barisan aritmetika yang terbentuk dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus: $b\ =\ \frac{y\ -\ x}{k\ +\ 1}$
Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan aritmetika. Bentuk umum: a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n - 1)b). Jumlah n suku pertama dirumuskan dengan:
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left [ 2a\ +\ b\left ( n\ -\ 1 \right ) \right ]$ atau $S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( a\ +\ U_{n} \right )$
Rumus suku ke-n jika $S_{n}$ diketahui yaitu $U_{n}\ =\ S_{n}\ -\ S_{n-1}$
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan dengan perbandingan atau rasio antara dua suku yang berurutan tetap. Rumus suku ke-n barisan geometri yaitu $U_{n}\ =\ ar^{n-1}$ dengan $a$ = suku pertama dan $r\ =\ \frac{U_{n}}{U_{n-1}}$.
Rumus suku tengah barisan geometri jika n ganjil adalah $U_{t}\ =\ \sqrt{U_{1}\ \times \ U_{n}}$, dengan $U_{t}$ = suku tengah dan $U_{n}$ = suku terakhir.
Di antara dua bilangan real yang berbeda x dan y dapat disisipkan k buah bilangan, sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan geometri. Misalkan rasio antara dua suku yang berurutan dari barisan geometri yang terbentuk adalah r, barisan geometri tersebut adalah:
$x,\ xr,\ xr^{2},\ xr^{3},\ ...,\ xr^{k},\ y$
Rasio dari barisan geometri yang terbentuk dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus: $r\ =\ \sqrt[k+1]{\frac{y}{x}\ }$
Deret Geometri
Deret geometri merupakan penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan geometri. Jumlah n suku pertama deret geometri dirumuskan dengan $S_{n}\ =\ \frac{a\left ( 1\ -\ r^{n} \right )}{1\ -\ r}$ untuk r $<$ 1 atau $S_{n}\ =\ \frac{a\left (r^{n}\ -\ 1 \right )}{r\ -\ 1}$
Rumus suku ke-n jika $S_{n}$ diketahui adalah $U_{n}\ =\ S_{n}\ -\ S_{n-1}$
Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri $U_{1}\ +\ U_{2}\ +\ U_{3}\ +\ ...\ +\ U_{n}$ disebut deret geometri tak berhingga jika n mendekati tak berhingga. Dengan kata lain, deret geometri disebut deret geometri tak berhingga jika banyaknya suku deret geometri tersebut bertambah terus mendekati tak berhingga.
Jumlah deret geometri tak berhingga:
1. Jika -1 $<$ r $<$ 1 maka $\lim_{n\rightarrow \infty }\ rn\ =\ 0$ sehingga diperoleh $\lim_{n\rightarrow \infty }\ S_{n}\ =\ \frac{a}{1-r}$. Deret geometri tak berhingga yang demikian ini dikatakan konvergen.
2. Jika r $<$ -1 atau r $>$ 1 maka $\lim_{n\rightarrow \infty }\ rn\ =\ \pm \infty $ sehingga $S_{n}\ =\ \pm \infty$. Deret geometri tak berhingga yang demikian ini dikatakan divergen.
Limit jumlah deret geometri tak berhingga yaitu biasanya dilambangkan dengan S. Misalkan diketahui deret geometri tak berhingga $a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ ...$ maka jumlah suku-suku ganjil adalah $a\ +\ ar^{2}\ +\ ar^{4}\ +\ ...$ yang merupakan suatu deret geometri tak berhingga dengan $U_{1}\ =\ a$ dan rasio $r^{2}$, sehingga diperoleh rumus:
$S_{ganjil}\ =\ \frac{a}{1\ -\ r^{2}} $
Sedangkan jumlah suku-suku genapnya adalah $ar\ +\ ar^{3}\ +\ ar^{5}\ +\ ...$ yang merupakan suatu deret geometri tak berhingga dengan $U_{1}\ =\ ar$ dan rasio $r^{2}$, sehingga diperoleh rumus:
$S_{genap}\ =\ \frac{ar}{1\ -\ r^{2}} $
Dari rumus jumlah suku-suku ganjil dan jumlah suku-suku genap deret geometri tak berhingga dengan diperoleh hubungan: $\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}\ =\ r$
Notasi Sigma
Pengertian notasi sigma
Secara umum kita dapat menyatakan penjumlahan suatu bilangan dengan menggunakan notasi sigma sebagai berikut.
$U_{1}\ +\ U_{2}\ +\ U_{3}\ +\ ...\ +\ U_{n}\ -\ 1\ +\ U_{n}\ =\ \sum_{k=1}^{n}\ U_{k}$
Jika batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n, maka penjumlahan tersebut dari n suku, sedangkan jika bats bawah penjumlahan r dan batas atasnya n, maka penjumlahan tersebut terdiri dari $n\ -\ r\ +\ 1$.
Sifat-sifat notasi sigma
Sifat 1: $\sum_{i=1}^{n}\ U_{i}\ =\ \sum_{j=1}^{n}\ U_{j}$
Sifat 2: $\sum_{j=1}^{n}\ k\ =\ nk$ dengan $k$ suatu konstanta
Sifat 3: $\sum_{j=1}^{n}\ ka_{i}\ =\ k\ \sum_{j=1}^{n}\ a_{i}$ dengan $k$ suatu konstanta
Sifat 4: $\sum_{n=1}^{n}\ \left ( a_{i}\ \pm\ b_{i} \right )\ =\ \sum_{n=1}^{n}\ a_{i}\ \pm\ \sum_{n=1}^{n}\ b_{i}$
Sifat 5: $\sum_{i=1}^{m}\ a_{i}\ +\ \sum_{i=m+1}^{n}\ a_{i}\ =\ \sum_{i=1}^{n}\ a_{i}$
Sifat 6: $\sum_{i=m}^{n}\ a_{i}\ =\ \sum_{i=m+p}^{n+p}\ a_{i-p}$
Iduksi matematika
Induksi merupakan proses pengambilan kesimpulan secara umum dari beberapa hal yang khusus.
Untuk membuktikan kebenaran dari suatu rumus / teorema / sifat yang berkaitan dengan bilangan asli n dengan menggunakan induksi matematika dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
Langkah 1: dibuktikan bahwa rumus / teorema benar untuk n = 1.
Langkah 2: andaikan rumus / teorema benar untuk n = k, dibuktikan bahwa rumus / teorema benar untuk n = k + 1.
Pengukuran
Satuan Panjang
Penggunaan satuan pengukuran panjang harus memperhatikan objek yang akan diukur. Sebagai contoh jarak dua kota menggunakan satuan km, panjang kain menggunakan satuan m, dan diameter pensil menggunakan satuan mm.
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mengukur panjang satuan benda, baik menggunakan satuan baku maupun satuan tidak baku.
Berikut satuan baku panjang sesuai dengan urutannya:
km dibaca kilometer
hm dibaca hektometer
dam dibaca dekameter
m dibaca meter
dm dibaca desimeter
cm dibaca sentimeter
mm dibaca milimeter
Keterangan: Setiap turun satu tingkat dikalikan 10, setiap naik satu tingkat dibagi 10.
Hubungan satuan ukuran panjang
1 km = 10 hm = 100 dam = 1.000 m = 10.000 dm = 100.000 cm = 1.000.000 mm
Satuan ukuran panjang berikut sering digunakan di dunia internasional:
1 inch = 2,54 cm
1 kaki = 12 inch = 30,48 cm
1 yard = 3 kaki = 91,44 cm
1 mil laut = 1.852 m
1 mil darat = 1.666 m
Satuan Luas
Satuan pengukuran luas yang sering digunakan adalah $m^{2}$, $km^{2}$, dan hektare. Pengukuran luas rumah atau bangunan menggunakan satuan $m^{2}$, pengukuran luas lahan pertanian atau perkebunan menggunakan satuan $km^{2}$ atau hektare.
Penulisan satuan ukuran luas dapat menggunakan satuan panjang bentuk persegi yaitu menuliskan pangkat dua dibelakang satuan panjang.
Berikut satuan luas berdasarkan urutannya:
| Satuan Persegi | Satuan Are |
|---|---|
| $km^{2}$ | $ka$ (kiloare) |
| $hm^{2}$ | $ha$ (hektoare / hektare) |
| $dam^{2}$ | $daa$ (dekaare / dekare) |
| $m^{2}$ | $a$ (are) |
| $dm^{2}$ | $da$ (desiare) |
| $cm^{2}$ | $ca$ (sentiare) |
| $mm^{2}$ | $ma$ (miliare) |
| Ket: setiap turun satu tingkat dikalikan 100 dan setiap naik satu tingkat dibagi 100 | Ket: setiap turun satu tingkat dikalikan 10 dan setiap naik satu tingkat dibagi 10 |
Hubungan satuan ukuran luas
1 $m^{2}$ = 1 $ca$
1 $dam^{2}$ = 1 $a$ = 100 $ca$
1 $hm^{2}$ = 1 $ha$ = 100 $a$
1 $km^{2}$ = 100 $hm^{2}$ = 10.000 $dam^{2}$ = 1.000.000 $m^{2}$ = 100.000.000 $dm^{2}$ = 10.000.000.000 $cm^{2}$ = 100.000.000.000 $mm^{2}$
Satuan Volume
Ukuran volume yang sering digunakan ada dua yaitu kubik dan liter. Kubik digunakan untuk satuan benda padat seperti kayu, pasir, dan batu. Liter untuk satuan benda cair seperti air, minyak tanah, minyak goreng, dan bensin.
Penulisan satuan ukuran isi / volume dapat menggunakan satuan panjang bentuk kubik yaitu menuliskan pangkat tiga dibelakang satuan panjang.
Berikut satuan volume berdasarkan urutannya:
| Satuan Kubik | Satuan Liter |
|---|---|
| $km^{3}$ | $kl$ (kiloliter) |
| $hm^{3}$ | $hl$ (hektoliter) |
| $dam^{3}$ | $dal$ (dekaliter) |
| $m^{3}$ | $l$ (liter) |
| $dm^{3}$ | $dl$ (desiliter) |
| $cm^{3}$ | $cl$ (sentiliter) |
| $mm^{3}$ | $ml$ (mililiter) |
| Ket: setiap turun satu tingkat dikalikan 1.000 dan setiap naik satu tingkat dibagi 1.000 | Ket: setiap turun satu tingkat dikalikan 10 dan setiap naik satu tingkat dibagi 10 |
Hubungan satuan ukuran volume
1 $dm^{3}$ = 1 $l$
1 $m^{3}$ = 1 $kl$
1 $cm^{3}$ = 1 $ml$ = 1 $cc$
1 $m^{3}$ = 1.000 $dm^{3}$ = 1.000.000 $cm^{3}$ = 1.000.000.000 $mm^{3}$
Satuan Berat
Penggunaan satuan ukuran berat harus memperhatikan objek yang diukur. Pengukuran berat emas menggunakan satuan gram. Pengukuran berat benda yang sering digunakan dalam perdagangan adalah kilogram, ton, dan kuintal.
Berikut satuan berat berdasarkan urutannya:
| Satuan Berat | Cara Baca |
|---|---|
| $kg$ | kilogram |
| $hm$ | hektogram |
| $dam$ | dekagram |
| $g$ | gram |
| $dg$ | desigram |
| $cg$ | sentigram |
| $mg$ | miligram |
Keterangan: setiap turun satu tingkat dikalikan 10 dan setiap naik satu tingkat dibagi 10.
Hubungan satuan ukuran berat
1 ton = 10 kuintal
1 ton = 1.000 kg
1 kuintal = 100 kg
1 kg = 10 hg
1 kg = 10 ons
1 hg = 1 ons
1 kg = 2 pon
1 pon = 5 ons
Satuan ukuran berat berikut sering digunakan di dunia internasional:
1 ounce = 28,35 gram
1 pound = 16 ounce = 453 gram.
Satuan waktu
Satuan waktu digunakan untuk mengukur lama suatu kegiatan. Ada banyak satuan waktu yang sering digunakan, dari satuan yang terbesar (abad) sampai satuan yang terkecil (detik).
Berikut ini hubungan satuan ukuran waktu yang dikenal dan sering digunakan di Indonesia.
| 1 abad = 100 tahun | 1 tahun 365 hari atau 366 hari |
| 1 abad = 10 dasawarsa | 1 bulan = 30 hari |
| 1 dasawarsa = 10 tahun | 1 minggu = 7 hari |
| 1 windu = 8 tahun | 1 hari = 7 hari |
| 1 lustrum = 5 tahun | 1 jam = 60 menit |
| 1 tahun = 12 bulan | 1 menit = 60 detik |
| 1 tahun = 52 minggu | 1 jam = 3.600 detik |
Satuan Kuantitas
Satuan ukuran kuantitas yang sering dipakai di Indonesia adalah rim, kodi, gros, dan lusin. Satuan ukuran jumlah / kuantitas berikut biasa digunakan dalam perdagangan:
1 rim = 500 lembar
1 kodi = 20 helai (lembar)
1 lusin = 12 biji (buah)
1 gross = 12 lusin (dosin)
1 gross = 144 buah
Pengukuran Suhu
Alat yang digunakan untuk mengukur suhu adalah termometer. Ada 3 macam termometer yang biasa dipelajari yaitu:
- Celcius (C)
- Reamur (R)
- Fahrenheit (F)
Perbandingan suhu antara termometer celcius, reamur, dan fahrenheit adalh sebagai berikut:
$^{\circ }$C : $^{\circ }$R : $^{\circ }$F = 5 : 4 : (+32$^{\circ }$)
Rumus Kecepatan
Kecepatan diartikan sebagai jarak yang ditempuh per satuan waktu. Sebagai ilustrasi, Frans yang berlari sejauh 250 meter selama 1 menit berarti kecepatan lari Frans 250 meter/menit.
Ada beberapa satuan kecepatan yang sering digunakan yaitu km/jam, m/detik, dan cm/detik.
$\text{kecepatan}\ =\ \frac{\text{jarak}}{\text{waktu}}$
$\text{jarak}\ =\ \text{kecepatan}\ \times \ \text{waktu}$
$\text{waktu}\ =\ \frac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}}$
Rumus Debit
Debit adalah banyaknya zat cair yang mengalir dalam saktu tertentu. Satuan debit antara lain m$^{3}$/detik, cm$^{3}$/detik, atau liter/detik.
$\text{debit}\ =\ \frac{\text{volume}}{\text{waktu}}$
$\text{volume}\ =\ \text{debit}\ \times \ \text{waktu}$
$\text{waktu}\ =\ \frac{\text{volume}}{\text{debit}}$
Aljabar
Bentuk Aljabar
Pengerjaan hitung bentuk aljabar
Pengerjaan hitung pada bentuk aljabar adalah suatu bentuk kalimat matematika yang melibatkan angka (konstanta), huruf (variabel), koefisien, dan operasi hitung.
Contoh: 3p$^{2}$ + 2q - 7
konstantanya -7; variabelnya p$^{2}$ dan q; koefisien p$^{2}$ adalah 3 dan koefisien q adalh 2; operasi hitungnya + dan -.
Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan terhadap suku-suku yang sejenis yaitu suku yang mempunyai variabel sama.
Perkalian suatu konstanta dengan suku dua menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan. Bentuk umumnya yaitu: p(q + r) = pq + pr dan p(q - r) = pq - pr.
Pembagian dan pemangkatan bentuk aljabar sama seperti pembagian bilangan bulat.
Rumus Perbandingan
Perbandingan adalah membandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang sejenis. Misalnya besaran berat dibandingkan dengan besaran berat, besaran panjang dibandingkan dengan besaran panjang, dan besaran volume dibandingkan dengan besaran volume.
Suatu perbandingan dapat dinyatakan dengan m : n atau $\frac{m}{n}$ dengan m, n bilangan bulat.
Perbandingan senilai
Dua besaran dikatakan mempunyai perbandingan senilai jika bertambahnya besaran yang satu diikuti bertambahnya besaran yang lain dan berkurangnya besaran yang satu diikuti berkurangnya besaran yang lain.
Contoh:
Dua liter bensin dapat digunakan untuk menempuh jarak 70 km. Tentukan bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 210 km.
Jawaban:
2 liter $\Rightarrow $ 70 km
x $\Rightarrow $ 210 km
$\frac{2}{x}\ =\ \frac{70}{210}\ \Leftrightarrow \ x\ =\ \frac{2\ \times \ 210}{70}\ =\ 6$
Jadi, bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 210 km adalah 6 liter.
Perbandingan terbalik
Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan dua besaran yang nilainya saling berkebalikan. Artinya, jika besaran yang satu bertambah maka besaran yang lain berkurang dan sebaliknya. Misalnya perbandingan antara kecepatan kendaraan dengan waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tertentu. Semakin besar kecepatannya maka waktu yang diperlukan semakin sedikit.
Contoh:
Satu kardus buku dibagikan kepada 8 anak dan setiap anak mendapat 3 buku. Jika dibagikan kepada 6 anak, tentukan banyak buku yang diterima setiap anak.
Jawaban:
8 anak $\Rightarrow $ 3 buku
6 anak $\Rightarrow $ x
$\frac{8}{6}\ =\ \frac{x}{3}\ \Leftrightarrow \ x\ =\ \frac{8\ \times \ 3}{6}\ =\ 4$
Jadi, jika buku dibagikan kepada 6 anak maka setiap anak mendapat 4 buku.
Rumus Skala
Skala adalah perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Rumus skala yaitu:
$\text{skala}\ =\ \frac{\text{ukuran pada gambar}}{\text{ukuran sebenarnya}}$
$\text{ukuran pada gambar}\ =\ \text{skala}\ \times \ \text{ukuran sebenarnya}$
$\text{ukuran sebenarnya}\ =\ \frac{\text{ukuran pada gambar}}{\text{skala}}$
Skala 1 : n (dengan n bilangan bulat) berarti setiap 1 cm ukuran pada gambar mewakili n cm ukuran sebenarnya.
Himpunan
Mengenal himpunan
Himpunan adalah sekumpulan benda atau objek yang mempunyai ciri atau syarat yang jelas. Pada umumnya himpunan dinamai dengan huruf kapital A, B, C, dan sebagainya. Himpunan dilambangkan dengan kurung kurawal $\left \{ \ \right \}$.
Setiap benda atau objek yang berada dalam syarat himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota himpunan. Anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Anggota himpunan dilambangkan dengan $\in $. Bukan anggota himpunan dilambangkan dengan $\notin $. Dalam suatu himpunan, setiap anggotanya berbeda, anggota yang sama cukup ditulis satu kali. Banyak himpunan A ditulis $n(a)$.
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu:
- Dengan kata-kata (metode deskripsi), yaitu dengan menyebutkan syarat-syarat keanggotaan yang ditulis di dalam kurawal tanpa menggunakan simbol.
- Dengan mendaftar anggotanya (metode tabulasi), yaitu dengan menuliskan anggota himpunan dalam kurung kurawal.
- Dengan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat), yaitu anggota himpunan dilambangkan dengan huruf kecil yang diikuti dengan garis tegak dan syarat keanggotaannya.
Diagram venn dan himpunan bagian
Himpunan semesta (himpunan semesta pembicaraan) adalah himpunan yang memuat seluruh objek atau anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S.
Diagram venn merupakan cara untuk menggambarkan (menunjukkan) suatu himpunan dengan gambar atau diagram.
Aturan penggunaan diagram venn sebagai berikut:
- Himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang dan diberi simbol S pada sudut kiri atas.
- Setiap anggota himpunan S digambarkan dengan noktah dan objeknya di dalam persegi panjang tersebut.
- Himpunan bagian dari S yang dibicarakan digambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutup yang memuat noktah dan objek tertentu.
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika semua anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B, ditulis $A\ \subset \ B$ (dibaca A himpunan bagian B atau A subset B). Jika ada anggota himpunan A yang tidak menjadi anggota himpunan B maka himpunan A bukan himpunan bagian B.
Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis
Bentuk umum persamaan garis lurus yaitu:
- $y\ =\ mx\ +\ c$ dengan gradien m dan memotong sumbu Y di $\left ( 0,\ c \right )$
- $ax\ +\ by\ +\ c\ =\ 0$ dengan $m\ =\ -\frac{a}{b}$ dan memotong sumbu Y di $\left ( 0,\ -\frac{c}{b} \right )$
Persamaan garis yang melalui dua titik $A\left ( x_{1},\ y_{1} \right )$ dan $B\left ( x_{2},\ y_{2} \right )$ adalah
$\frac{y\ -\ y_{1}}{y_{2}\ -\ y_{1}}\ =\ \frac{x\ -\ x_{1}}{x_{2}\ -\ x_{1}}$
Gradien
Gradien adalah angka (nilai) yang menunjukkan besar dan arah kemiringan garis. Gradien merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x.
Garis yang condong ke kanan menunjukkan $m > 0$ dan garis yang condong ke kiri menunjukkan $m < 0$.
Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah m = 0. Gradien garis yang sejajar sumbu Y adalah m = $\infty $ (tak terdefinisi)
Dua garis yang sejajar mempunyai gradien sama, yaitu $m_{1}\ =\ m_{2}$. Jika dua garis saling tegak lurus maka $m_{1}\ \times \ m_{2}\ =\ -1$.
Gradien garis yang melalui titik $O\left ( 0,\ 0 \right )$ dan $A\left ( x,\ y \right )$ adalah $m\ =\ \frac{y}{x}$.
Gradien garis yang melalui titik $P\left ( x_{1},\ y_{1} \right )$ dan $Q\left ( x_{2},\ y_{2} \right )$ adalah $m\ =\ \frac{y_{2}\ -\ y_{1}}{x_{2}\ -\ x_{1}}$.
Aritmetika Sosial
Nilai barang
Nilai keseluruhan adalah jumlah nilai seluruh barang. Nilai keseluruhan = jumlah barang x harga 1 unit barang.
Nilai sebagian adalah jumlah nilai sebagian barang. Nilai sebagian = banyak sebagian barang x harga 1 unit barang.
Nilai per unit adalah nilai dari setiap satuan barang. Nilai per unit = harga keseluruhan : jumlah seluruh barang.
Persentase dalam bidang ekonomi
Harga pembelian (Hb) atau modal adalah nilai sejumlah uang untuk membeli barang. Harga penjualan (Hj) adalah uang yang diterima dari hasil menjual barang.
Keuntungan (U) diperoleh apabila Hb kurang dari Hj.
U = Hj - Hb
Persentase keuntungan $=\ \frac{U}{Hb}\ \times \ 100%$
Kerugian (R) diderita apabila Hb lebih dari Hj.
R = Hb - Hj
Persentase kerugian $=\ \frac{R}{Hb}\ \times \ 100%$
Bruto berarti berat kotor. Neto berarti berat bersih. Tara (potongan jumlah / berat) yaitu potongan jumlah / berat barang karena adanya berat pembungkus (kemasan).
Tara = bruto - neto
Persentase tara $=\ \frac{Tara}{Bruto}\ \times \ 100%$
Rabat adalah potongan harga yang diberikan kepada pembeli karena membeli barang dalam jumlah besar (banyak).
Pajak dan Bunga Tunggal
Pajak Penghasilan (PPh)
Hal-hal yang dikenai PPh antara lain gaji, upah, honorarium, tunjangan, dan hadiah.
Pajak Pertambahan Nilai (PPN) dan Pajak Penjualan Atas Barang Mewah (PPnBM)
Hal-hal yang dikenai PPN dan PPnBM yaitu barang hasil olahan, barang impor, dan jasa-jasa tertentu.
Setiap penjualan atau pembelian barang dikenai PPN. PPnBM dikenakan pada penjualan atau pembelian barang mewah. Tarif PPN adalah 10%, sedangkan tarif PPnBM adalah 10% sampai dengan 200%.
Pajak Bumi dan Bangunan (PBB)
Hal-hal yang dikenai PBB yaitu tanah dan bangunan yang ada di atasnya (rmah). Di Indonesia, PBB dikenakan pada tanah dan bangunan yang mempunyai nilai di atas Rp12.000.000,00, sedangkan harga 12 juta ruoiah ke bawah tidak dikenai PBB.
Besar PBB 0,5% dari 20% harga yang dikenai pajak untuk tanah dan bangunan yang nilainya kurang dari 1 miliar.
Besar PBB 0,5% dari 40% harga yang dikenai pajak untuk tanah dan bangunan yang nilainya lebih dari 1 miliar.
Bunga adalah imbalan jasa untuk penyimpanan uang. Apabila tabungan / modal (M) rupiah ditabung di bank dan mendapat bunga p% per tahun maka:
Besar bunga per tahun $=\ p%\ \times \ M$
Besar bunga n bulan $=\ \frac{n}{12}\ \times \ p%\ \times \ M$
Persamaan Kuadrat
Bentuk umum $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0$ dengan a, b, dan c bilangan real serta a $\neq $ 0.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan beberapa cara berikut:
Memfaktorkan, yaitu difaktorkan menjadi $\left ( x\ +\ p \right )\ \left ( x\ +\ q \right )\ =\ 0$
Melengkapkan bentuk kuadrat, yaitu diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna $\left ( x\ +\ p \right )^{2}\ =\ q$
Menggunakan rumus ABC, yaitu $x\ =\ \frac{-b\ \pm\ \sqrt{b^{2}\ -\ 4ac} }{2a}$
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0$ dapat dilihat dari nilai diskriminannya yaitu $D\ =\ b^{2}\ -\ 4ac$
- D $>$ 0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar real.
- D = 0 berarti persamaan kuadrat mempunyai satu akar real.
- D $<$ 0 berarti persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0$, maka:
- Jumlah akar-akarnya: $x_{1}\ +\ x_{2}\ =\ -\frac{b}{a}$
- Hasil kali akar-akarnya: $x_{1}\ \times \ x_{2}\ =\ \frac{c}{a}$
Menentukan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah:
$\left ( x\ -\ x_{1} \right )\left ( x\ -\ x_{2} \right )\ =\ 0$ atau $x^{2}\ -\ \left ( x_{1}\ +\ x_{2} \right )x\ +\ \left ( x_{1}\ \times \ x_{2} \right )\ =\ 0$
Suku Banyak
Bentuk umum suku banyak
Bentuk umum suku banyak dalam variabel x dan berderajat n yaitu:
$a_{n}x^{n}\ +\ a_{n-1}x^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_{1}x\ +\ a_{0}$
Keterangan:
$a_{n},\ a_{n-1},\ ...,\ a_{1},\ a_{0}$ adalah koefisien dengan $a_{n}$ bilangan-bilangan real dan $a_{n}\ \neq \ 0$
$a_{n}$ koefisien $x^{n}$, $a_{n-1}$ koefisien $x^{n-1}$, dan seterusnya, sedangkan $a_{0}$ suku tetap.
$n$ bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.Derajat suku banyak adalah pangkat tertinggi dari variabel x yang ada dalam suku banyak tersebut.
Contoh: derajat dari suku banyak $6x^{7}\ +\ x^{4}\ -\ 2x^{3}\ +\ 9x\ + 6\ =\ 0$ adalah 7.
Nilai suku banyak untuk x tertentu, misalnya $x\ =\ c$, dicari dengan memasukkan (substitusi) $c$ pada suku banyak tersebut. Secara umum, nilai suku banyak tersebut:
$F\left ( c \right )\ =\ a_{n}c^{n}\ +\ a_{n-1}c^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_{1}c\ +\ a_{0}$
Misalkan terdapat suku banyak $F\left ( x \right )\ =\ a_{n}x^{n}\ +\ a_{n-1}x^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_{1}x\ +\ a_{0}$. Nilai $x\ =\ c$ (dapat pula ditulis sebagai $x\ -\ c$) disebut akar suku banyak $F\left ( x \right )$ jika nilai x memenuhi hubungan $F\left ( c \right )\ =\ a_{n}c^{n}\ +\ a_{n-1}c^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_{1}c\ +\ a_{0}\ =\ 0$.
Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak
- Suku banyak dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan koefisien-koefisien dari suku sejenis.
- Operasi perkalian dua atau lebih suku banyak dilakukan dengan mengalikan koefisien dan suku dari suku banyak tersebut.
Pembagian suku banyak
- Pembagian suku banyak $P\left ( x \right )$ oleh bentuk $\left ( x\ -\ k \right )$ dinotasikan dengan $P\left ( x \right )\ =\ \left ( x\ -\ k \right )\ H\left ( x \right )\ +\ S$, dimana $H\left ( x \right )$ adalah hasil bagi sedangkan $S$ adalah sisa pembagian. Metode ini disebut metode Horner atau metode sintetik.
Teorema sisa pada pembagian suku banyak dinyatakan dalam dua teorema berikut:
Teorema 1: jika suku banyak $K\left ( x \right )$ dibagi dengan $\left ( x\ -\ c \right )$ maka sisa pembagiannya $S\ =\ K\left ( c \right )$.
Teorema 2: jika suku banyak $K\left ( x \right )$ dibagi dengan $\left ( ax\ +\ b \right )$ maka sisa pembagiannya $S\ =\ K\left ( -\frac{b}{a} \right )$.
Misalkan suku banyak $K\left ( x \right )$ dibagi dengan $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c$ dengan $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c$ dapat difaktorkan menjadi $\left ( x\ -\ d \right )\left ( x\ -\ e \right )$ maka sisa pembagiannya $S\left ( x \right )\ =\ px\ +\ q$ dengan $p\ =\ \frac{f\left ( d \right )\ -\ f\left ( e \right )}{d\ -\ e}$ dan $q\ =\ \frac{dF\left ( e \right )\ -\ eF\left ( d \right )}{d\ -\ e}$.
Program Linear
Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat diubah menjadi suatu model matematika. Adapun program linear merupakan cara menentukan nilai optimum dari model matematika yang terdiri atas beberapa pertidaksamaan linear. Nilai optimum dungsi objektif dapat ditentukan menggunakan dua metode yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik.
Metode uji titik pojok
Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif sebagai berikut:
- Gambar daerah yang memenuhi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
- Tentukan titik-titik pojok yang memenuhi SPtLDV
- Substitusi titik-titik pojok ke fungsi objektif sehingga diperoleh nilai optimum
Metode garis selidik
- Gambar daerah yang memenuhi SPtLDV
- Gambar garis selidik fungsi objektif yang melalui titik pojok pada daerah penyelesaian. Jika fungsi objektif yang akan dioptimumkan $f\left ( x,y \right )\ =\ ax\ +\ by$ maka persamaan garis selidik yang digunakan $ax\ +\ by\ =\ k$. Pilihlah $k\ =\ ab$ agar sobat lebih mudah menggambarnya.
- Tentukan nilai optimum fungsi objektif dengan ketentuan sebagai berikut:
Gradien Garis Selidik Ketentuan Nilai Fungsi Objektif Negatif titik yang dilalui garis selidik paling kiri minimum titik yang dilalui garis selidik paling kanan maksimum Positif titik yang dilalui garis selidik paling kiri maksimum titik yang dilalui garis selidik paling kanan minimum
Materi lain tentang program linear sudah saya ulas melalui artikel Penyelesaian Program Linear.
Matriks
Pengertian, notasi, dan ordo matriks
Matriks adalah susunan beberapa bilangan dalam bentuk persegi panjang, yang diatur menurut baris dan kolom. Setiap bilangan disebut elemen matriks.
Suatu matriks biasanya dilambangkan atau dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan elemennya berupa huruf kecil.
Matriks memiliki ukuran yang bermacam-macam besarnya. Ukuran matriks biasanya disebut ordo. Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat di dalam matriks tersebut.
Jika matriks $A$ terdiri dari $m$ baris dan $n$ kolom, maka matriks itu berordo $m\ \times \ n$ dan dituliskan sebagai $A_{m\ \times \ n}$. Banyak elemen matriks $A$ itu sama dengan $\left ( m\ \times \ n \right )$ buah. Oleh karena itu matriks $A$ yang berordo $m\ \times \ n$ dapat disajikan sebagai berikut:
$A_{m\ \times \ n}\ =\ \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& ...& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& ...& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& ...& ...& ...& a_{mn}\end{pmatrix}$
Jenis-jenis matriks
- Matriks persegi yaitu suatu matriks dengan banyak baris dan kolom sama
- Matriks baris yaitu suatu matriks yang hanya terdiri atas satu baris
- Matriks kolom yaitu suatu matriks yang hanya terdiri atas satu kolom
- Matriks nol (0) yaitu suatu matriks yang semua elemennya 0 (nol)
- Matriks diagonal yaitu suatu matriks persegi dengan semua elemennya 0 (nol), kecuali elemen diagonal utama (tidak semua nol)
- Matriks identitas (I) yaitu suatu matriks dengan semua elemen diagonal utama sama dengan 1 (satu) sedangkan semua elemen yang lain sama dengan 0 (nol)
- Matriks segitiga bawah yaitu suatu matriks persegi dengan semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol
- Matriks segitiga atas yaitu suatu matriks persegi dengan semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol
Transpos matriks
Transpos dari matriks A adalah suatu matriks baru yang terbentuk jika elemen-elemen pada baris matriks $A$ ditukarkan dengan elemen-elemen pada kolomnya. Transpos matriks $A$ biasanya dinotasikan dengan $A^{'}$ atau $A^{t}$.
$A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{'}\ =\ \begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}$
$B\ =\ \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix}$ maka $B^{t}\ =\ \begin{pmatrix} a & d\\ b & e\\ c & f \end{pmatrix}$
Kesamaan dua matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang bersesuaian (seletak) juga sama.
Penjumlahan dua matriks
Jika A dan B adalah dua matriks yang ordonya sama, maka jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (seletak).
Sifat-sifat penjumlahan matriks
Untuk matriks A, B, C dan matriks O yang berordo sama berlaku sifat-sifat berikut.
- Sifat komutatif, yaitu A + B = B + A
- Sifat asosiatif, yaitu A + (B + C) = (A + B) + C
- Terdapat unsur identitas penjumlahan matriks, yaitu matriks O sedemikian rupa sehingga A + O = O + A = A
- Untuk setiap matriks A terdapat lawan matriks A, yaitu -A sedemikian rupa sehingga A + (-A) = (-A) + A = O.
Contoh 1:
$A\ +\ B\ =\ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 6 \end{pmatrix}\ +\ \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$A\ +\ B\ =\ \begin{pmatrix} 2\ +\ \left ( -5 \right ) & 3\ +\ 3\\ 1\ +\ 1 & 6\ +\ \left ( -2 \right ) \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} -3 & 6\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
Contoh 2:
$A\ +\ \left ( -A \right )\ =\ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 6 \end{pmatrix}\ +\ \begin{pmatrix} -2 & -3\\ -1 & -6 \end{pmatrix}\ =\ O$
Pengurangan dua matriks
Dua matriks berordo sama dapat dikurangkan dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak, ditulis A - B = A + (-B).
Perkalian matriks dengan bilangan real
Jika $k$ adalah suatu bilangan real, dan $A$ adalah suatu matriks, maka $kA$ adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks $A$ dengan $k$. Sehingga:
$kA\ =\ k\ \times \ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} ka & kb\\ kc & kd \end{pmatrix}$
Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real
Untuk setiap matrika A dan matriks B yang berordo sama, serta bilangan real k dan l, berlaku sifat-sifat berikut ini.
- Sifat 1: k(A + B) = kA + kB
- Sifat 2: (k + l)A = kA + lA
- Sifat 3: k(lA) = (kl)A
Perkalian matriks
Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Perkalian matriks yaitu mengalikan tiap elemen pada baris matriks sebelah kiridengan kolom matriks sebelah kanan, lalu hasilnya dijumlahkan.
Jika matriks $A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ dan $B\ =\ \begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}$ maka perkalian A dengan B dapat ditentukan dengan persamaan:
$AB\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} ap\ +\ br & aq\ +\ bs\\ cp\ +\ dr & cp\ +\ ds \end{pmatrix}$
Sifat-sifat perkalian matriks
- Pada umumnya perkalian matriks tidak bersifat komutatif, AB $\neq $ BA
- Perkalian matriks bersifat asosiatif, (AB)C = A(BC)
- Perkalian matriks bersifat distributif, A(B + C) = AB + AC dan (B + C)A = BA + CA
- Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo sama, terdapat unsur identitas yaitu matriks satuan I sedemikian sehingga AI = IA = A
- Jika AB = O, belum tentu A = O atau B = O
- Jika AB = AC, belum tentu B = C
- Jika $A^{t}$ dan $B^{t}$ berturut-turut adalah transpos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku hubungan $\left ( AB \right )^{t}\ =\ B^{t}A^{t}$
Pemangkatan matriks persegi
Jika A adalah matriks persegi maka $A^{2}\ =\ AA,\ A^{3}\ =\ AA^{2},\ A^{4}\ =\ AA^{3},\ ...$ dan seterusnya. Dengan demikian $A^{n}\ =\ AA^{n-1}$
Determinan matriks
Rumus determinan matriks berordo 2 x 2
Misalkan $A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 2. Determinan matriks A adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil elemen-elemen diagonal samping pada matriks A, yaitu ad - bc.
Determinan matriks $A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ biasanya dituliskan dengan det (A) = $\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$ = ad - bc.
Rumus determinan matriks berordo 3 x 3
Jika $B\ =\ \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$, determinan matriks B adalah:
det (B) = $\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}\begin{matrix} a & b\\ d & e\\ g & h \end{matrix}$ = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi.
Invers matriks
Misalkan A dan B merupakan dua matriks persegi berordo sama. Jika matriks A dan B memenuhi hubungan AB = BA = I maka dikatakan A dan B merupakan dua matriks yang saling invers. Matriks B disebut invers perkalian dari matriks A dan dinotasikan dengan $A^{-1}$. Matriks A disebut invers perkalian dari matriks B dan dinotasikan dengan $B^{-1}$
Rumus invers matriks berordo 2 x 2
Jika $A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ invers dari matriks A adalah:
$A^{-1}\ =\ \frac{1}{det\left ( A \right )}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}\ =\ \frac{1}{ad\ -\ bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$
Dengan syarat det (A) = ad - bc $\neq $ 0. Jika det (A) = 0 atau A merupakan matriks singular maka matriks A tidak mempunyai invers.
Rumus invers matriks berordo 3 x 3
Jika $A\ = \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$ maka invers dari matriks A adalah:
$A^{-1}\ =\ \frac{1}{det\left ( A \right )}\ Adj\left ( A \right )$
Dengan ${\normalsize det (A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi}$, dan Adjoin A yaitu:
${\normalsize Adj\left ( A \right )\ =\ \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} b & c\\ h & i \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} b & c\\ e & f \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a & c\\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c\\ d & f \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b\\ g & h \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a & b\\ d & e \end{vmatrix} \end{pmatrix}}$
Logika
Pernyataan dan Kalimat Terbuka
Secara umum, dalam logika dipelajari dua jenis kalimat, yaitu kalimat deklaratif dan kalima terbuka. Kaliamt deklaratif (disebut juga pernyataan) adalah kalimat yang dapat bernilai benar atau salah, tetapi tidak bisa bernilai benar-salah sekaligus.
Contoh:
a. Lima ibu kota negara Peru (bernilai benar)
b. Bilangan dua belas adalah bilangan prima (bernilai salah)
Kalimat deklaratif atau pernyataan dilambangkan dengan huruf "p", "q", atau huruf-huruf yang lain.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang nilai kebenarannya belum pasti karena kalimat tersebut memuat variabel.
Ingkaran atau Negasi
Ingkaran disebut pula negasi. Misalkan sebuah pernyataan bernilai benar, ingkaran dari pernyataan tersebut bernilai salah. Negasi dinyatakan dengan membubuhkan kata "tidak" atau "bukan". Simbol negasi adalah ~. Sebagai contoh, negasi dari p dinyatakan dengan ~p.
Tabel Kebenaran dan Pernyataan Majemuk
Tabel kebenaran
Pada tabel kebenaran didaftar seluruh kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan tungggal. Nilai kebenaran suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf B (untuk menyatakan benar) dan S (untuk menyatakan salah).
Dalam logika matematika kita mengenal istilah "ekuivalen". Makna ekuivalen mirip dengan makna sama dengan, yaitu untuk menunjukkan hubungan kesetaraan. Ekuivalen dinotasikan dengan $\equiv $.
Konjungsi
Konjungsi adalah kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung "dan". Misalkan pernyataan p dan q merupakan pernyataan tunggal, konjungsi yang terbentuk dinotasikan "p $\wedge $ q". Kata hubung "dan" dapat pula diganti dengan kata hubung "sedangkan" atau "tetapi".
Nilai kebenaran konjungsi sebagai berikut.
| p | q | p $\wedge $ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Disjungsi
Disjungsi adalah kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung "atau". Misalkan pernyataan p dan q merupakan pernyataan tunggal, disjungsi yang terbentuk dinotasikan "p $\vee $ q".
Nilai kebenaran disjungsi sebagai berikut.
| p | q | p $\vee $ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Implikasi
Misalkan pernyataan p dan q merupakan pernyataan tunggal, implikasi yang terbentuk ditulis "jika p maka q" atau dinotasikan dengan "p $\Rightarrow $ q".
Nilai kebenaran implikasi sebagai berikut.
| p | q | p $\Rightarrow $ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Biimplikasi
Misalkan p dan q merupakan pernyataan tunggal, biimplikasi yang terbentuk ditulis "p jika dan hanya jika q" atau dinotasikan dengan "p $\Leftrightarrow $ q".
Nilai kebenaran biimplikasi sebagai berikut.
| p | q | p $\Leftrightarrow $ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Pernyataan majemuk yang saling ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan saling ekuivalen apabila nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut sama. Contoh: p $\Leftrightarrow $ q $\equiv $ (p $\Rightarrow $ q) $\wedge $ (q $\Rightarrow $ p)
Negasi Pernyataan Majemuk
- Negasi dari pernyataan p $\wedge $ q dinotasikan dengan ~(p $\wedge $ q) atau ~(p $\wedge $ q) $\equiv $ ~p $\vee $ ~q
- Negasi dari pernyataan p $\vee $ q dinotasikan dengan ~(p $\vee $ q) atau ~(p $\vee $ q) $\equiv $ ~p $\wedge $ ~q
- Negasi dari pernyataan p $\Rightarrow $ q dinotasikan dengan ~(p $\Rightarrow $ q) atau ~(p $\Rightarrow $ q) $\equiv $ p $\wedge $ ~q
- Negasi dari pernyataan p $\Leftrightarrow $ q dinotasikan dengan ~(p $\Leftrightarrow $ q) atau ~(p $\Leftrightarrow $ q) $\equiv $ ((p $\wedge $ ~q) $\vee $ (~p $\wedge $ q))
Konvers, Invers, dan Kontraposisi Suatu Implikasi
Konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan majemuk p $\Rightarrow $ q ditunjukkan oleh hubungan berikut:
- Konvers: q $\Rightarrow $ p
- Invers: ~p $\Rightarrow $ ~q
- Kontraposisi: ~q $\Rightarrow $ ~p
Pernyataan Berkuantor
Kuantor universal
Notasi kuantor universal ($\forall $) dibaca "semua", "sembarang" atau "setiap". Penulisan pernyataan berkuantor universal yaitu $\forall $x, p(x) dan dibaca "semua x bersifat p(x)".
Kuantor eksistensial
Notasi kuantor eksistensial ($\exists $) dibaca "ada", "terdapat", atau "beberapa". Penulisan pernyataan berkuantor eksistensial yaitu $\exists $x, p(x) dan dibaca "beberapa x bersifat p(x)".
Negasi pernyataan berkuantor
- ~($\forall $x, p(x)) $\equiv $ $\exists $x, ~p(x)
- ~($\exists $x, p(x)) $\equiv $ $\forall $x, ~p(x)
Penarikan Kesimpulan
Cara untuk menarik kesimpulan logika matematika sebagai berikut:
Modus Ponens
Premis 1: p $\Rightarrow $ q
Premis 2: p
Kesimpulan: qModus Tollens
Premis 1: p $\Rightarrow $ q
Premis 2: ~q
Kesimpulan: ~pModus Silogisme
Premis 1: p $\Rightarrow $ q
Premis 2: q $\Rightarrow $ r
Kesimpulan: p $\Rightarrow $ r
Geometri
Bangun Datar
Rumus Keliling dan Luas Bangun Datar
Apa rumus luas lingkaran dan luas persegi?
Nah, untuk menjawabnya silahkan perhatikan tabel berikut. Tabel memuat daftar rumus yang digunakan untuk menghitung luas semua jenis bangun datar, termasuk juga rumus keliling seperti rumus keliling lingkaran, keliling persegi, persegi panjang, dll.
| Nama Bangun Datar | Rumus Keliling | Rumus Luas |
|---|---|---|
| Persegi | K = 4 x sisi = 4s | L = sisi x sisi = s x s = $s^{2}$ |
| Persegi Panjang | K = 2p + 2l = 2(p + l) | L = p x l |
| Segitiga | K = a + b + c | L = $\frac{1}{2}$ x a x t |
| Jajargenjang | K = a + b + c + d | L = a x t |
| Belah Ketupat | K = 4 x sisi = 4 x s | L = $\frac{1}{2}\ \times \ d_{1}\ \times \ d_{2}$ |
| Layang-layang | K = a + b + c + d | L = $\frac{1}{2}\ \times \ d_{1}\ \times \ d_{2}$ |
| Trapesium | K = a + b + c + d | L = $\frac{a\ +\ b}{2}\ \times \ t$ |
| Lingkaran | K = $\pi \ \times \ d$ = $2\ \times \ \pi \ \times \ r$ | L = $\pi \ \times \ r^{2}$ = $\frac{1}{4}\ \times \ \pi \ \times \ d^{2}$ |
Keterangan: s = sisi; p = panjang; l = lebar; t = tinggi; T = tinggi; r = jari-jari; d = diameter; s = garis pelukis; $\pi$ = phi (3,14 atau 22/7)
Bangun Ruang
Rumus Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang
Berikut daftar rumus luas permukaan dan volume bangun ruang.
| Nama Bangun Ruang | Rumus Luas Permukaan (LP) | Rumus Volume (Isi) |
|---|---|---|
| Kubus | LP = 6s$^{2}$ | V = s x s x s = s$^{3}$ |
| Balok | LP = 2(pl + pt + lt) | V = p x l x t |
| Prisma Segitiga | LP = 2 x L segitiga + K segitiga + T prisma | V = L segitiga x T prisma V = ($\frac{1}{2}$ x a x t) x T prisma |
| Tabung | LP = 2 x $\pi $ x r (r + t) | V = $\pi $ x r$^{2}$ x t |
| Limas | LP = L alas + Jumlah luas sisi tegak | V = $\frac{1}{3}$ x L alas x t |
| Kerucut | L Selimut = $\pi $ x r x s LP = $\pi $ x r (r + s) | V = $\frac{1}{3}$ x $\pi $ x r$^{2}$ x t |
| Bola | LP = 4 x $\pi $ x r$^{2}$ = $\pi $ x d$^{2}$ | V = $\frac{4}{3}$ x $\pi $ x r$^{3}$ = $\frac{1}{6}$ x $\pi $ x 4$^{3}$ |
Statistika
Statistika adalah ilmu mempelajari cara pengumpulan, penyajian, pengolahan, dan penarikan kesimpulan dari suatu data. Statistik adalah nilai-nilai ukuran data. Contoh statistika: mean, median, modus, nilai ukuran terkecil, nilai ukuran terbesar, dsb.
Data dibedakan menjadi dua, yaitu:
- Data kualitatif yaitu data yang tidak berbentuk bilangan. Contoh: data jenis mata pencaharian orang tua siswa, data kualitas barang, dan data olahraga kegemaran siswa.
- Data kuantitatif yaitu data yang berbentuk bilangan. Contoh: data tinggi badan siswa dan data nilai ulangan siswa.
Data dapat disajikan dalam bentuk tabel, diagram (batang, garis, lingkaran, lambang/gambar/piktogram), histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Diagram biasanya digunakan untuk menyajikan data tunggal, sedangkan histogram, poligon frekuensi, dan ogive biasanya digunakan untuk menyajikan data berkelompok.
Ukuran Pemusatan Data
Data tunggal
Mean (rata-rata) adalah nilai rata-rata hitung dari sekumpulan data. Rumus rata-rata yaitu:
$\bar{X}\ =\ \frac{\text{Jumlah semua nilai data}}{\text{Banyak data}}\ =\ \frac{\sum x_{i}}{n}$
Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data yang telah diurutkan dari data terkecil ke terbesar atau sebaliknya.
Rumus median untuk jumlah data (n) ganjil: $M_{e}\ =\ X_{\frac{n\ +\ 1}{2}}$
Rumus median untuk jumlah data (n) genap: $M_{e}\ =\ \frac{X_{\frac{n}{2}}\ +\ X_{\frac{n}{2}\ +\ 1}}{2}$
Modus adalah data yang paling sering muncul
Data berkelompok
Rumus Mean (rata-rata): $\bar{X}\ =\ \frac{\sum f_{i}.x_{i}}{\sum f_{i}}$
Keterangan:
$f_{i}$ = frekuensi interval kelas-i
$x_{i}$ = titik tengah interval kelas-i
Rumus Median: $M_{e}\ =\ Q_{2}\ =\ L_{2}\ +\ \left ( \frac{\frac{N}{2}\ -\ \sum f_{2}}{f_{2}} \right )\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{2}$ = tepi bawah kelas median
$f_{2}$ = frekuensi kelas median
$\sum f_{2}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas median
$N$ = jumlah data ($\sum f$)
$c$ = panjang interval kelas
Rumus Modus: $M_{o}\ =\ L_{o}\ +\ \left ( \frac{d_{1}}{d_{1}\ +\ d_{2}} \right )\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{o}$ = tepi bawah kelas modus
$d_{1}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus
$d_{2}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah kelas modus
$c$ = panjang interval kelas
Ukuran Letak Data
Data tunggal
Kuartil adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi empat bagian sama banyak.
Kuartil ke-i: $Q_{i}$ = datum ke-$\frac{i\left ( n\ +\ 1 \right )}{4}$ dengan $i$ = 1, 2, 3, dan $n$ = ukuran data.
Desil adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 10 bagian yang sama.
Desil ke-i: $D_{i}$ = datum ke-$\frac{i\left ( n\ +\ 1 \right )}{10}$ dengan $i$ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan $n$ = ukuran data.
Persentil adalah nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian.
Persentil ke-i: $P_{i}$ = datum ke-$\frac{i\left ( n\ +\ 1 \right )}{100}$ dengan $i$ = 1, 2, 3, ..., 99 dan $n$ = ukuran data.
Data berkelompok
Rumus Kuartil ke-i: $Q_{i}\ =\ L_{i}\ +\ \frac{\frac{i}{4}n\ -\ \sum f_{Q_{i}}}{f_{Q_{i}}}\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{i}$ = tepi bawah kelas kuartil ke-i
$f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas kuartil ke-i
$\sum f_{Q_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
$n$ = jumlah data
$c$ = panjang interval kelas
$i$ = 1, 2, 3
Rumus Desil ke-i: $D_{i}\ =\ L_{i}\ +\ \frac{\frac{i}{10}n\ -\ \sum f_{D_{i}}}{f_{D_{i}}}\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{i}$ = tepi bawah kelas desil ke-i
$f_{D_{i}}$ = frekuensi kelas desil ke-i
$\sum f_{D_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
$n$ = jumlah data
$c$ = panjang interval kelas
$i$ = 1, 2, 3, ..., 9
Rumus Persentil ke-i: $P_{i}\ =\ L_{i}\ +\ \frac{\frac{i}{100}n\ -\ \sum f_{P_{i}}}{f_{P_{i}}}\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{i}$ = tepi bawah kelas persentil ke-i
$f_{P_{i}}$ = frekuensi kelas persentil ke-i
$\sum f_{P_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
$n$ = jumlah data
$c$ = panjang interval kelas
$i$ = 1, 2, 3, 99
Peluang
Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi
Aturan Perkalian
Misalkan: operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n$_{1}$ cara, operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n$_{2}$ cara, operasi 3 dapat dilaksanakan dalam n$_{3}$ cara, ..., operasi k dapat dilaksanakan dalam n$_{k}$ cara.
Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan: n = n$_{1}$ x n$_{2}$ x n$_{3}$ x ... x n$_{k}$Notasi Faktorial
Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
n! = n x (n - 1) x (n - 2) x (n - 3) x ... x 3 x 2 x 1, dengan n bilangan asli, untuk n $\geq $ 2.
$\text{n}\ =\ \frac{\text{n!}}{\left ( \text{n}\ -\ \text{1} \right )}$ dengan 1! = 1 dan 0! = 1Permutasi dari sekumpulan unsur yang berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut dengan memperhatikan urutannya. Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia yaitu:
$_{\text{n}}\text{P}_{\text{r}}\ =\ \frac{\text{n!}}{\left ( \text{n}\ -\ \text{1} \right )\text{!}}$ dengan r $\leq $ nPermutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat k unsur yang sama, $l$ unsur yang sama dan m unsur yang sama:
$\text{P}\ =\ \frac{\text{n!}}{\text{k!}\ l\text{!}\ \text{m!}}$, k, $l$, m $\leq $ nBanyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah $\text{P}_{\text{siklis}}\ =\ \left ( \text{n - 1} \right )\text{!}$
Kombinasi dari sekumpulan unsur yang berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut tanpa memperhatikan urutannya. Banyak kombinasi r unsur diambil dari n unsur yang tersedia:
$_{\text{n}}\text{C}_{\text{r}}\ =\ \frac{\text{n!}}{\text{r!}\left ( \text{n}\ -\ \text{r} \right )\text{!}}$ dengan r $\leq $ n
Peluang Suatu Kejadian
Ruang sampel
Ruang sampel (S) adalah himpunan semesta hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Titik sampel adalah anggota dari ruang sampel.
Peluang suatu kejadian
Peluang suatu kejadian (P) adalah perbandingan antara banyak anggota yang memenuhi suatu kejadian dan banyak seluruh anggota ruang sampel.
Peluang suatu kejadian A dirumuskan:
$\text{P(A)}\ =\ \frac{\text{n(A)}}{\text{n(S)}}$
Keterangan:
n(A) = banyak hasil yang memenuhi A
n(S) = banyak anggota ruang sampel
Nilai peluang adalah 0 $\leq $ P(A) $\leq $ 1. Jika kejadian mustahil maka P(A) = 0. Jika kejadian pasti maka P(A) = 1. Jika A' komplemen kejadian A maka peluang kejadian A' adalah P(A') = 1 - P(A).
Frekuensi harapan
Misalkan dilakukan n kali percobaan dan A merupakan kejadian dengan peluang P(A). Frekuensi harapan dari kejadian A(F$_{\text{h}}$) dirumuskan sebagai berikut:
F$_{\text{h}}$ = n x P(A)
Peluang kejadian majemuk
- Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S maka berlaku:
P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(A $\cap$ B) - Jika A dan B masing-masing dua kejadian yang saling lepas maka berlaku:
P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling bebas maka berlaku:
P(A $\cap$ B) = P(A) x P(B)
Peluang kejadian bersyarat
Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bersyarat jika kejadian A bergantung pada kejadian B atau kejadian B bergantung pada kejadian A.
Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dahulu ditentukan dengan aturan:
$\text{P}\left ( \text{A}\mid \text{B} \right )\ =\ \frac{\text{P}\left ( \text{A}\ \cap \ \text{B} \right )}{\text{P}\left ( \text{B} \right )}$ dengan P(B) $\neq $ 0
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu ditentukan dengan aturan:
$\text{P}\left ( \text{B}\mid \text{A} \right )\ =\ \frac{\text{P}\left ( \text{A}\ \cap\ \text{B} \right )}{\text{P}\left ( \text{A} \right )}$ dengan P(A) $\neq $ 0
Trigonometri
Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-siku
Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ABC didefinisikan sebagai berikut:
| sin A = $\frac{\text{sisi di hadapan sudut A}}{\text{hipotenusa}}$ = $\frac{\text{y}}{\text{r}}$ | cosec A = $\frac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi di hadapan sudut A}}$ = $\frac{\text{r}}{\text{y}}$ |
| cos A = $\frac{\text{sisi di dekat sudut A}}{\text{hipotenusa}}$ = $\frac{\text{x}}{\text{r}}$ | sec A = $\frac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi di dekat sudut A}}$ = $\frac{\text{r}}{\text{x}}$ |
| tan A = $\frac{\text{sisi di hadapan sudut A}}{\text{sisi di dekat sudut A}}$ = $\frac{\text{y}}{\text{x}}$ | tan A = $\frac{\text{sisi di dekat sudut A}}{\text{sisi di hadapan sudut A}}$ = $\frac{\text{x}}{\text{y}}$ |
Rumus-rumus Trigonometri
Rumus-rumus perbandingan trigonometri sudut-sudut berelasi
| sin(-$\alpha $) = -sin $\alpha $ | sin (180$^{\circ }$ - $\alpha $) = sin $\alpha $ | sin (270$^{\circ }$ + $\alpha $) = -cos $\alpha $ |
| cos (-$\alpha $) = cos $\alpha $ | cos (180$^{\circ }$ - $\alpha $) = -cos $\alpha $ | cos (270$^{\circ }$ + $\alpha $) = sin $\alpha $ |
| tan (-$\alpha $) = -tan $\alpha $ | tan (180$^{\circ }$ - $\alpha $) = -tan $\alpha $ | tan (270$^{\circ }$ + $\alpha $) = -cotan $\alpha $ |
| sin (90$^{\circ }$ - $\alpha $) = cos $\alpha $ | sin (180$^{\circ }$ + $\alpha $) = -sin $\alpha $ | sin (360$^{\circ }$ - $\alpha $) = -sin $\alpha $ |
| cos (90$^{\circ }$ - $\alpha $) = sin $\alpha $ | cos (180$^{\circ }$ + $\alpha $) = -cos $\alpha $ | cos (360$^{\circ }$ - $\alpha $) = cos $\alpha $ |
| tan (90$^{\circ }$ - $\alpha $) = cotan $\alpha $ | tan (180$^{\circ }$ + $\alpha $) = tan $\alpha $ | tan (360$^{\circ }$ - $\alpha $) = -tan $\alpha $ |
| sin (90$^{\circ }$ + $\alpha $) = cos $\alpha $ | sin (270$^{\circ }$ - $\alpha $) = -cos $\alpha $ | sin (360$^{\circ }$ + $\alpha $) = sin $\alpha $ |
| cos (90$^{\circ }$ + $\alpha $) = -sin $\alpha $ | cos (270$^{\circ }$ - $\alpha $) = -sin $\alpha $ | cos (360$^{\circ }$ + $\alpha $) = cos $\alpha $ |
| tan (90$^{\circ }$ + $\alpha $) = -cotan $\alpha $ | tan (270$^{\circ }$ - $\alpha $) = cotan $\alpha $ | tan (360$^{\circ }$ + $\alpha $) = tan $\alpha $ |
Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
| cos ($\alpha $ + $\beta $) = cos $\alpha $ cos $\beta $ - sin $\alpha $ sin $\beta $ | cos ($\alpha $ - $\beta $) = cos $\alpha $ cos $\beta $ + sin $\alpha $ sin $\beta $ |
| sin ($\alpha $ + $\beta $) = sin $\alpha $ cos $\beta $ + cos $\alpha $ sin $\beta $ | sin ($\alpha $ - $\beta $) = sin $\alpha $ cos $\beta $ - cos $\alpha $ sin $\beta $ |
| tan ($\alpha $ + $\beta $) = $\frac{\text{tan}\ \alpha\ +\ \text{tan}\ \beta }{\text{1 -}\ \text{tan}\ \alpha\ \text{tan}\ \beta }$ | tan ($\alpha $ - $\beta $) = $\frac{\text{tan}\ \alpha\ -\ \text{tan}\ \beta }{\text{1 +}\ \text{tan}\ \alpha\ \text{tan}\ \beta }$ |
Rumus trigonometri sudut ganda
sin 2$\alpha $ = 2 sin $\alpha $ cos $\alpha $
cos 2$\alpha $ = cos$^{\text{2}}$ $\alpha $ - sin$^{\text{2}}$ $\alpha $
cos 2$\alpha $ = 2 cos$^{\text{2}}$ $\alpha $ - 1
cos 2$\alpha $ = 1 - 2 sin$^{\text{2}}$ $\alpha $
tan 2$\alpha $ = $\frac{\text{2}\ \text{tan}\ \alpha }{\text{1 - tan}^{\text{2}}\ \alpha }$
Rumus trigonometri sudut pertengahan
sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ $\alpha $ = $\pm\ \sqrt{\frac{\text{1 - cos}\ \alpha }{\text{2}}}$
cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ $\alpha $ = $\pm\ \sqrt{\frac{\text{1 + cos}\ \alpha }{\text{2}}}$
tan $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ $\alpha $ = $\pm\ \sqrt{\frac{\text{1 - cos}\ \alpha }{\text{1 + cos}\ \alpha }}$
Rumus perkalian sinus dan kosinus
2 sin $\alpha $ cos $\beta $ = sin ($\alpha $ + $\beta $) + sin ($\alpha $ - $\beta $)
2 cos $\alpha $ sin $\beta $ = sin ($\alpha $ + $\beta $) - sin ($\alpha $ - $\beta $)
2 cos $\alpha $ cos $\beta $ = cos ($\alpha $ + $\beta $) + cos ($\alpha $ - $\beta $)
2 sin $\alpha $ sin $\beta $ = -{cos ($\alpha $ + $\beta $) - cos ($\alpha $ - $\beta $)}
Rumus jumlah dan selisih pada sinus dan kosinus
sin $\alpha $ + sin $\beta $ = 2 sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ + $\beta $) cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ - $\beta $)
sin $\alpha $ - sin $\beta $ = 2 cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ + $\beta $) sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ - $\beta $)
cos $\alpha $ + cos $\beta $ = 2 cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ + $\beta $) cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ - $\beta $)
cos $\alpha $ - cos $\beta $ = -2 sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ + $\beta $) sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ - $\beta $)
Demikian ulasan tentang kumpulan rumus matematika yang dipelajari dari SD, SMP, hingga SMA. Semoga artikel ini bermanfaat dan menambah wawasan teman-teman semua.